2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共45分）1.设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x∣2x>7}，则M¿❑❑N＝( )A. {7，9} B. {5，7，9} C. {3，5，7，9} D. {1，3，5，7，9}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：由2x>7，得x>72，故N={x∨x>72}，则根据交集的定义易得M∩N={5,7,9}.故答案为：B【分析】根据交集的定义求解即可.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确故不正确的是C故答案为：C【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.已知（1−i）2z=3+2i，则z=（ ）A. -1-32i B. -1+32i C. -32+i D. -32-i【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=(3+2i)i(−2i)i=−2+3i2=−1+32i故答案为：B【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.下列函数中是增函数的为( )A. f(x)＝−x B. f(x)＝(23)x C. f(x)＝x2 D. f(x)＝3√x【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的判断与证明【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；对于B，考察函数f(x)=ax，易知当00时，f(x)=x2单调递增，故C错误；对于D，考察函数f(x)=x13，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.故答案为：D【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.5.点(3，0)到双曲线x216−y29＝1的一条渐近线的距离为( )A. 95 B. 85 C. 65 D. 45【答案】A【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：y=34x，即3x-4y=0，则所求距离为d=|3×3−4×0|√32+(−4)2=95故答案为：A【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（10√10≈1.259）A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6【答案】C【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=−110，所以V=10−110=110√10≈11.259≈0.8故答案为：C【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，则侧视图是故答案为：D【分析】根据三视图的画法求解即可.8.在△ABC中，已知B＝120∘，AC＝√19，AB＝2，则BC＝( )A. 1 B. √2 C. √5 D. 3【答案】D【考点】余弦定理，余弦定理的应用【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，即19=4+BC2+2BC即BC2+2BC-15=0解得BC=3或BC=-5(舍去)故BC=3故答案为：D【分析】由余弦定理直接求解即可.9.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A【考点】等比数列的性质【解析】【解答】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，即4,2，S6-6成等比数列，则4×（S6-6）=22解得S6=7故答案为：A【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题，排列与组合的综合【解析】【解答】解：3个1和2个0随机排成一行一共有以下10种排法：11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111其中2个0不相邻共有6种，所以所求概率为P=610=0.6【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.11.若α∈（0,π2¿,tan2α=cosα2−sinα，则tanα=¿（ ）A. √1515 B. √55 C. √53 D. √153【答案】A【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由题意得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα ，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，又因为α∈（0,π2¿ ,所以cosα=√1−sin2α=√154所以tanα=sinαcosα=√1515故答案为：A【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.12.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若f(−13)＝13，f则(53)＝( )A. −53 B. −13 C. 13 D. 53【答案】C【考点】奇函数，函数奇偶性的性质【解析】【解答】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，所以f(53)=f(1+23)=f(−23)=−f(23)=−f[1+(−13)]=−f(13)=f(−13)=13故答案为：C【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共17分）13.若向量⃗a，⃗b满足|⃗a|＝3，|⃗a－⃗b|＝5，⃗a⋅⃗b＝1，则|⃗b|＝________．【答案】3√2【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】解：由(a→+b→)2=|a→+b→|2得a→2−2a→·b→+b→2=|a→−b→|2即9-2×1+|b→|2=25解得|b→|=3√2故答案为：3√2【分析】根据向量的运算法则求解即可.14.己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．【答案】39π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则底面面积S=πr2=36π，则由V=13Sℎ=13×36π×ℎ=30π得ℎ=52,则l=√r2+ℎ2=√62+(52)2=132故圆锥的侧面积为πrl=π×6×132=39π【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.15.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(π2)＝________．【答案】−√3【考点】余弦函数的图象【解析】【解答】解：由题意得34T=13π12−π3=3π4，则T=π，ω=2，所以f(x)=2cos(2x+φ),将点(13π12，2)代入得2cos(2×13π12+φ)=2，则13π6+φ=2π+2kπ，则φ=−π6+2kπ，(k∈Z)，故φ=−π6，所以f(x)=2cos(2x−π6)，所以f(π2)=2cos(2×π2−π6)=2cos5π6=−√3，故答案为：−√3【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.16.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且¿PQ∨¿∨F1F2∨¿，则四边形PF1QF2的面积为________。【答案】8【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=12|F1F2|，所以PF1PF⊥2，所以SPF1QF2=2S△PF1F2=2×b2×tan∠F1PF22=8故答案为：8【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共40分）17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：K2=n(ad−bc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d） 【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150200=34乙机床生产的产品中一级品的频率是：120200=35（2）由于K2=400+(150×80−50×120)2270×130×200×200=40039≈10.256>6.635所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.18.记Sn为{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{√Sn}是等差数列．证明：{an}是等差数列．【答案】∵数列{√Sn}是等差数列，设公差为d¿√S2−√S1=√a2+a1−√a1=√a1∴√Sn=√a1+(n−1)√a1=n√a1，(n∈N∗)∴Sn=a1n2，(n∈N∗)∴当n≥2时，an=Sn−Sn−1=a1n2−a1(n−1)2=2a1n−a1当n=1时，2a1×1−a1=a1，满足an=2a1n−a1，∴{an}的通项公式为an=2a1n−a1，(n∈N∗)∴an−an−1=(2a1n−a1)−[2a1(n−1)−a1]=2a1∴{an}是等差数列.【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【分析】由数列{√Sn}是等差数列，及 an>0，a2＝3a1，即可得到等差数列{√Sn}的公差d¿√a1,从而得到Sn=a1n2，(n∈N∗)，进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明{an}是等差数列. 19.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．（1）求三棱锥F－EBC的体积；（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．【答案】（1）如图所示，连结AF，由题意可得：BF=√BC2+CF2=√4+1=√5，由于ABBB⊥1，BCAB⊥，BB1∩BC=B，故AB⊥平面BCC1B1，而BF⊂平面BCC1B1，故AB⊥BF，从而有AF=√AB2+BF2=√4+5=3，从而AC=√AF2−CF2=√9−1=2√2，则AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC，△ABC为等腰直角三角形，S△BCE=12s△ABC=12×(12×2×2)=1，VF−EBC=13×S△BCE×CF=13×1×1=13.（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCM−A1B1C1M1，如图所示，取棱AM,BC的中点H,G，连结A1H,HG,GB1，正方形BCC1B1中，G,F为中点，则BF⊥B1G，又BF⊥A1B1,A1B1∩B1G=B1，故BF⊥平面A1B1GH，而DE⊂平面A1B1GH，从而BF⊥DE.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（１）连结AF，通过计算得出AC线段的长度，得到AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC，进一步可以计算出F－EBC的体积；（２）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，取棱AM,BC的中点H,G，连结A1H,HG,GB1，通过证明 BF⊥平面A1B1GH，而得到BF⊥DE.20.设函数f(x)＝a2x2＋ax−3lnx＋1，其中a>0．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．【答案】（1）函数的定义域为(0,+∞)，又f′(x)=(2ax+3)(ax−1)x，因为a>0,x>0，故2ax+3>0，当01a时，f′(x)>0；所以f(x)的减区间为(0,1a)，增区间为(1a,+∞).（2）因为f(1)=a2+a+1>0且y=f(x)的图与x轴没有公共点，所以y=f(x)的图象在x轴的上方，由（1）中函数的单调性可得f(x)min=f(1a)=3−3ln1a=3+3lna，故3+3lna>0即a>1e.【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系【解析】【分析】（１）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；（２）首先注意到f(1)=a2+a+1>0且y=f(x)的图与x轴没有公共点这一特点，表明y=f(x)的图象在x轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于０即可，解不等式，即可得到结果。21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且⊙M与L相切，（1）求⊙M的方程；（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.【答案】（1）依题意设抛物线C:y2=2px(p>0),P(1,y0),Q(1,−y0)，∵OP⊥OQ,∴⃗OP⋅⃗OQ=1−y02=1−2p=0,∴2p=1，所以抛物线C的方程为y2=x，M(0,2),⊙M与x=1相切，所以半径为1，所以⊙M的方程为(x−2)2+y2=1；（2）设A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x=1或x=3，若A1A2方程为x=1，根据对称性不妨设A1(1,1)，则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y=1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；若A1A2方程为x=3，根据对称性不妨设A1(3,√3),A2(3,−√3),则过A1与圆M相切的直线A1A3为y−√3=√33(x−3)，又kA1A3=y1−y3x1−x3=1y1+y3=1√3+y3=√33,∴y3=0，x3=0,A3(0,0)，此时直线A1A3,A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切；若直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在，则kA1A2=1y1+y2,kA1A3=1y1+y3,kA2A3=1y2+y3，所以直线A1A2方程为y−y1=1y1+y2(x−x1)，整理得x−(y1+y2)y+y1y2=0，同理直线A1A3的方程为x−(y1+y3)y+y1y3=0，直线A2A3的方程为x−(y2+y3)y+y2y3=0，∵A1A2与圆M相切，∴¿2+y1y2∨¿√1+(y1+y2)2=1¿整理得(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，A1A3与圆M相切，同理(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0所以y2,y3为方程(y12−1)y2+2y1y+3−y12=0的两根，y2+y3=−2y1y12−1,y2⋅y3=3−y12y12−1，M到直线A2A3的距离为：¿2+y2y3∨¿√1+(y2+y3)2=¿2+3−y12y12−1∨¿√1+(−2y1y12−1)2¿¿¿¿y12+1∨¿√(y12−1)2+4y12=y12+1y12+1=1¿，所以直线A2A3与圆M相切；综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】（1）先设抛物线的方程C:y2=2px(p>0),由对称性，可知P(1,y0),Q(1,−y0)，进而由OP⊥OQ,可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；（２）先设出A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)三点的坐标，分A1A2斜率不存在及直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在讨论，分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cosθ.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足⃗AP =√2⃗AM,写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.【答案】（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2√2cosθ可得ρ2=2√2ρcosθ，将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得x2+y2=2√2x，即(x−√2)2+y2=2，即曲线C的直角坐标方程为(x−√2)2+y2=2；（2）设P(x,y)，设M(√2+√2cosθ,√2sinθ)∵⃗AP=√2⃗AM，∴(x−1,y)=√2(√2+√2cosθ−1,√2sinθ)=(2+2cosθ−√2,2sinθ)，则{x−1=2+2cosθ−√2y=2sinθ，即{x=3−√2+2cosθy=2sinθ，故P的轨迹C1的参数方程为{x=3−√2+2cosθy=2sinθ（θ为参数）∵曲线C的圆心为(√2,0)，半径为√2，曲线C1的圆心为(3−√2,0)，半径为2，则圆心距为3−2√2，∵3−2√2<2−√2，∴两圆内含，故曲线C与C1没有公共点.【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】（１）先将ρ=2√2cosθ两边平方可得ρ2=2√2ρcosθ，然后用{x=ρcosθy=ρsinθ)替换即可得到C的直角坐标方程；（２）先设P(x,y)及M(√2+√2cosθ,√2sinθ)再由⃗AP=√2⃗AM，建立ｘ，ｙ与θ的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。 五、[选修4－5：不等式选讲]（共1题；共2分）23.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=|2x+3|-|2x-1|.（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.【答案】（1）可得f(x)=¿x−2∨¿{2−x,x<2x−2,x≥2，画出图像如下：g(x)=¿2x+3∨−∨2x−1∨¿{−4,x<−324x+2,−32≤x<124,x≥12，画出函数图像如下：（2）f(x+a)=¿x+a−2∨¿，如图，在同一个坐标系里画出f(x),g(x)图像，y=f(x+a)是y=f(x)平移了¿a∨¿个单位得到，则要使f(x+a)≥g(x)，需将y=f(x)向左平移，即a>0，当y=f(x+a)过A(12,4)时，¿12+a−2∨¿4，解得a=112或−52（舍去），则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移112个单位，∴a≥112.【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由f（x+a）≥g（x）,确定a的取值范围。
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